複合結構牆的一維熱傳導

不同的結構材質擁有不同的熱傳導係數,由兩層以上組成的牆,以下稱為複合結構牆。

圖 1 為一面三層的複合結構牆,並假設整面牆均勻加熱,溫度變化只存在於法線方向。當結構牆達穩態時,溫度分布僅取決於壁厚,每一層結構因熱傳導係數不同導致溫度梯度(斜率)不同,圖 1 中紅線為溫度分布結果。

圖 1|複合結構牆的一維熱傳導分析
圖 1|複合結構牆的一維熱傳導分析

在穩態中,熱通量已知為:

式 (1)
式 (1)

重新排列後:

式 (2)
式 (2)
Q
熱通量
T1–T4
不同結構層交界面的溫度
x1–x3
不同結構層的厚度
k1–k3
不同結構層的熱傳導係數
A
邊界的表面積

使用者可以在壁面上設定熱通量或溫度作為邊界條件。在 PreonLab 中,當牆面有兩層以上時至少需要兩個求解器,同時交互求解共軛熱傳模型(CHT, Conjugate Heat Transfer)。

以下 5 個案例由簡單至複雜,表面積 A 皆為 1 平方公尺,結果以百分比形式的相對誤差呈現。

案例 1|單層牆面

圖 2|案例 1
圖 2|案例 1

依照方程式 (1),熱通量為:

式 (3)
式 (3)
k1
1 W·m⁻¹·K⁻¹
x1
1 m
T1
10 ℃
T2
0 ℃

熱通量理論值為 10 W/m²,且隨著法線方向的溫度分布為:

式 (4)
式 (4)

在 PreonLab 中,使用粒子大小 20 mm 之熱通量 Q1 計算結果為 10.07 W/m²(0.7%)。圖 3 包括溫度分布結果與比對圖。

圖 3|案例 1 結果
圖 3|案例 1 結果

案例 2|兩層牆面、相同材質

增加一層相同材質的結構,以測試最簡單的 CHT 多求解器。

圖 4|案例 2
圖 4|案例 2

熱通量為:

式 (5)
式 (5)
k1 = k2
1 W·m⁻¹·K⁻¹
x1 = x2
0.5 m
T1
10 ℃
T3
0 ℃

在交界面上的溫度可視為:

式 (6)
式 (6)

熱通量理論值為 10 W/m²,且 T2 = 5 ℃。於 PreonLab 中,第一層牆面的左側使用流體求解器,右側則使用結構求解器,使用粒子大小 20 mm 的計算結果為:

Q1
10.05 W/m²(0.5%)
Q2
9.24 W/m²(−7.6%)
T2
4.87 ℃(−2.6%)

PreonLab 也接受在不同求解器中設定不同的顆粒大小,以下為左側 25 mm、右側 50 mm 的計算結果:

圖 5|不同顆粒大小的熱傳結果
圖 5|不同顆粒大小的熱傳結果

案例 3|兩層牆面、兩種材質

圖 6|案例 3
圖 6|案例 3
x1 = x2
0.5 m
T1
10 ℃
T3
0 ℃
k1
1 W·m⁻¹·K⁻¹

方程式 (5) 與 (6) 可以用來計算熱通量與溫度,其中溫度分布可以表示為:

式 (7)
式 (7)

下表列出不同熱傳導係數或粒子大小對應的計算結果:

圖 7|變量與其對應計算結果
圖 7|變量與其對應計算結果
圖 8|左上 k2 = 4,右上 k2 = 10,左下 k2 = 100
圖 8|左上 k2 = 4,右上 k2 = 10,左下 k2 = 100

圖 8 顯示不同熱傳導係數(4、10、100)時的結果,符合高熱傳導係數導致交界面溫度較低的趨勢。

案例 4|單層結構與熱通量邊界

將固定溫度邊界改為固定熱通量邊界。

圖 9|案例 4
圖 9|案例 4

依照方程式 (3) 獲得溫度結果:

式 (8)
式 (8)
k1
1 W·m⁻¹·K⁻¹
x1
1 m
T2
0 ℃
Q
10 W/m²

依上述邊界可獲得解析溫度結果 T1 = 10 ℃。在 PreonLab 中,以顆粒大小 20 mm 計算可得左側溫度結果為 9.91 ℃(−0.9%)。溫度分布結果與對比圖請參考圖 10。

圖 10|案例 4 溫度結果
圖 10|案例 4 溫度結果

案例 5|雙層結構、不同材質與熱通量邊界

將結構增加到雙層,並擁有不同的熱傳導係數,使用熱通量作為邊界條件進行計算對比。

圖 11|案例 5
圖 11|案例 5

依照方程式 (5) 獲得溫度結果:

式 (8)
式 (8)
k1
1 W·m⁻¹·K⁻¹
k2
10 W·m⁻¹·K⁻¹
x1 = x2
0.5 m
T3
0 ℃
Q1
18.2 W/m²

結構左側的解析溫度為 10 ℃,在 PreonLab 中,以顆粒大小 20 mm 計算可得左側溫度結果為 9.96 ℃(−0.4%)。溫度分布結果與對比圖請參考圖 12。

圖 12|案例 5 溫度結果
圖 12|案例 5 溫度結果

結論

根據反覆的驗證與測試,PreonLab 針對複合結構牆的求解器可以獲得良好的結果,其中包含共軛熱傳分析;不同顆粒大小的材質也不會影響求解,更能準確地支援溫度邊界與熱通量邊界。因此,PreonLab 計算多種結構材質之間的熱傳導是有效且精確的。

星恆科技有限公司
/技術資料 PreonLab {{ version }}

PreonLab 計算多種結構材質之間的熱傳導

以 Lewis 等人發表的解析解為基準,對比 PreonLab 的熱傳導與共軛熱傳(CHT)模型,並以五個由簡至繁的案例驗證不同熱邊界與不同顆粒大小下的計算正確性。汽車領域的主要應用包括電機冷卻、車輛涉水、雨水管理、雪汙染與變速箱潤滑。

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