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知識庫
波傳播與特徵線
Wave propagation in 1D ： d’Alembert 解
一維聲波方程的解，是兩個保持形狀、以聲速 c 往相反方向前進的擾動之和：右行的 p⁺ 與左行的 p⁻。它們各自沿著自己的特徵線 x∓ct=const 移動，交會時只是瞬間疊加，錯開後又恢復原形。拖曳下方的時間軸與波幅，觀察兩道波在 x–t 時空中的瀑布切面。
把游標移到任一符號上，看它代表什麼
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/顯示
拖曳畫面旋轉視角
拖動金色切面移動時間 t
拖動金色切面移動時間 t
TIME t
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t = 0
t = 1 s
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NOTE兩道波反相：交會瞬間互相抵消，總聲壓幾乎歸零，但錯開之後各自的波形完好無損 — 這正是線性疊加，不是碰撞。能量也沒有消失：該瞬間它全部存在質點速度（動能）之中。
怎麼讀這張圖
水平面是空間 x 與時間 t，垂直軸是聲壓 p。每一層水平切面皆為某一瞬間的波形，沿時間軸堆疊便形成時空中的「瀑布圖」。波峰在時空中的軌跡呈直線，說明了一維聲波無色散（以恆定聲速 c 平移）；波形全程保持不變，體現了無黏滯耗散的線性疊加特性。
/波幅
/波包寬度
w 是高斯波包的寬度，量在可見邊緣 ±3.2σ（w = 6.4σ，含 99.9% 的擾動），也就是同色兩條特徵線的間距；波長 λ = c/f 只對週期波成立，脈衝沒有波長。圖為正規化座標：長度為任意單位、時間以秒計，c = 1 單位長度/s；振幅則以 Pa 標示，與長度、時間的正規化無關。
/x–t 特徵線俯視
兩條斜線就是特徵線；橫向金線是目前的時間切面，交點即兩波相遇的時刻。
/圖例
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/從何而來
聲學方程並不是另一套物理。從描述流體的 Navier–Stokes 方程出發，只保留疊加在靜態流場上的微小擾動，將黏滯項與對流非線性項視為高階小量略去；再結合等熵狀態方程，質量守恆與動量方程便可化簡為經典的 d’Alembert 波動方程 — 而日常生活中我們聽見的交談、音樂與各類噪聲，本質上全都是相對於大氣壓微不足道的「小擾動」，這也正是線性聲學無所不在的原因。
質量守恆
∂ρ
∂t
+
∂ρvi
∂xi
=
0
動量方程
∂ρvi
∂t
+
∂ρvivj
∂xj
= −
∂p
∂xi
+
∂τij
∂xj
d’Alembert
1
c2
∂2p
∂t2
−
Δp
=
0